Un modelo matemático de riesgo–recompensa para la decisión de mus en el juego del Mus

Resumen

El juego del mus es un juego de cartas tradicional ampliamente practicado en España, caracterizado por la toma de decisiones bajo incertidumbre y cooperación parcial entre jugadores. Una de las decisiones estratégicas clave del juego es la elección entre aceptar nuevas cartas (hacer mus) o continuar con la mano actual (cortar el mus). En este trabajo se propone un modelo matemático simplificado que permite cuantificar el equilibrio riesgo–recompensa asociado a esta decisión. A partir de una función que combina el valor esperado de la mano, la probabilidad de mejora y el coste implícito de ceder información y ventaja al rival, se define un criterio formal para determinar cuándo resulta óptimo aceptar el mus. El estudio se basa en simulaciones teóricas y no pretende describir el comportamiento real de jugadores expertos, sino ilustrar cómo herramientas matemáticas pueden aplicarse al análisis de decisiones en juegos tradicionales.

Palabras clave: teoría de juegos, toma de decisiones, riesgo–recompensa, mus, modelos matemáticos.

1. Introducción

La toma de decisiones bajo incertidumbre es un problema central en múltiples disciplinas, desde la economía hasta la inteligencia artificial. Los juegos de cartas constituyen un entorno especialmente adecuado para su estudio, ya que combinan información incompleta, interacción estratégica y recompensas discretas.

El mus es un juego de cartas de origen vasco que se juega habitualmente por parejas y en el que una de las decisiones más relevantes ocurre al inicio de cada mano: decidir si se aceptan nuevas cartas (mus) o si se juega con la mano actual (no mus). Esta decisión influye de manera directa en la probabilidad de ganar los distintos lances del juego (grande, chica, pares y juego/punto).

A pesar de su popularidad, el análisis formal del mus desde un punto de vista matemático es escaso. El objetivo de este trabajo es proponer un modelo sencillo que permita cuantificar el riesgo y la recompensa asociados a la decisión de hacer mus, proporcionando un criterio matemático que ayude a formalizar dicha elección.

En el contexto de este trabajo, se emplea el término fase para referirse a cada uno de los momentos estructurados en los que se evalúa la fortaleza relativa de las manos en el mus: grande, chica, pares y juego (o punto). Aunque en la terminología tradicional del juego estos elementos se denominan comúnmente lances, se adopta el término fase con el fin de enfatizar su papel como subprocesos secuenciales dentro de la toma de decisiones estratégica global. Cada fase se considera una unidad evaluable independiente, con impacto diferenciado en el resultado final de la mano, lo que permite su modelización mediante probabilidades y pesos específicos dentro de una función de valor agregado.

2. Metodología

2.1 Marco conceptual y supuestos del modelo

El modelo propuesto se enmarca dentro de la teoría de la decisión bajo incertidumbre y de los modelos de utilidad esperada. El mus es un juego de información incompleta con interacción estratégica, por lo que se introducen los siguientes supuestos simplificadores:

• Los jugadores actúan de manera racional y buscan maximizar su beneficio esperado.
• La decisión de hacer mus se analiza de forma aislada, sin considerar señales explícitas entre compañeros.
• El valor de una mano puede representarse mediante una variable escalar continua.
• El comportamiento del rival se asume simétrico y neutral.

Estos supuestos permiten focalizar el análisis en la decisión de mus como un problema de equilibrio riesgo–recompensa.

2.2 Representación formal de la mano

Sea $$H = \{c_1, c_2, c_3, c_4\}$$ el conjunto de cartas que componen una mano. Cada carta $$c_j$$ pertenece al conjunto del mazo español reducido utilizado en el mus.

A cada mano se le asocia un vector de potencial por fases del juego:

$$\mathbf{p}(H) = \left(p_{\text{grande}}, p_{\text{chica}}, p_{\text{pares}}, p_{\text{juego}}\right)$$

donde cada componente representa la probabilidad estimada de ganar la fase correspondiente frente a un rival promedio.

2.3 Función de valor agregado de la mano

Para obtener una medida escalar del potencial global de la mano, se define la siguiente función de valor:

$$V(H) = \sum_{i=1}^{4} w_i \cdot p_i(H)$$

donde:

$$p_i(H) \in [0,1]$$ es la probabilidad de ganar la fase i,

$$w_i > 0$$ es el peso relativo asignado a dicha fase, con la restricción $$\sum_i w_i = 1$$.

Esta función actúa como una utilidad esperada normalizada de la mano considerando todas las fases del juego.

2.4 Modelado del proceso de mus

El mus se modela como un proceso estocástico de sustitución parcial de cartas. Sea k el número de cartas descartadas$$ (0 \le k \le 4)$$. El conjunto de manos posibles tras aceptar el mus se denota como:

$$\mathcal{H}_m(H_0, k)$$

La probabilidad de transición desde la mano inicial H_0 a una mano H_m \in \mathcal{H}_m se asume uniforme sobre el conjunto de combinaciones posibles, condicionado al mazo restante.

2.5 Probabilidad de mejora

Se define la probabilidad de mejora como:

$$P_{imp}(H_0, k) = \sum_{H_m \in \mathcal{H}_m} \mathbb{I}\left[V(H_m) > V(H_0)\right] \cdot P(H_m)$$

donde:

$$\mathbb{I}(\cdot)$$ es la función indicadora,

$$P(H_m)$$ es la probabilidad de obtener la mano $$H_m$$.

Este término cuantifica la probabilidad de que la nueva mano mejore el rendimiento global en las distintas fases del juego.

2.6 Ganancia esperada condicionada a mejora

No todas las mejoras tienen el mismo impacto estratégico. Por ello se define la ganancia esperada condicionada como:

$$\Delta V = \mathbb{E}\left[V(H_m) - V(H_0)\mid V(H_m) > V(H_0)\right]$$

Este valor representa la recompensa media esperada en términos de rendimiento agregado por fases cuando la mano mejora.

2.7 Coste estratégico del mus

El coste estratégico de hacer mus se modela mediante un término escalar C, que agrupa distintos factores implícitos:

$$C = \alpha + \beta + \gamma$$

donde:

$$\alpha$$ representa la pérdida de iniciativa en el desarrollo de las fases,

$$\beta$$ modela la posible mejora simultánea del rival,

$$\gamma$$ recoge efectos informacionales y estratégicos indirectos.

En este trabajo, C se trata como un parámetro ajustable que permite simular distintos perfiles de jugador.

2.8 Función riesgo–recompensa

Integrando los términos anteriores, se define la función riesgo–recompensa asociada al mus:

$$R(H_0, k) = P_{imp}(H_0, k)\cdot \Delta V - C$$

Este valor resume el beneficio neto esperado de aceptar el mus descartando k cartas, considerando su impacto en todas las fases del juego.

2.9 Criterio de decisión

El criterio de decisión adoptado es:

$$\text{Hacer mus} \iff R(H_0, k) > 0$$

En caso contrario, se recomienda jugar la mano actual. Un jugador racional seleccionará el valor de k que maximice $$R(H_0, k)$$, siempre que dicho máximo sea positivo.

2.10 Procedimiento de simulación

Para analizar el comportamiento del modelo se llevaron a cabo simulaciones teóricas consistentes en:

1. Generación aleatoria de manos iniciales $$H_0$$.

2. Cálculo del valor agregado $$V(H_0)$$.

3. Simulación de escenarios de mus para distintos valores de k.

4. Evaluación de$$ P_{imp}, \Delta V y R$$.

5. Determinación de la decisión óptima según el criterio definido.

Las simulaciones se realizaron con parámetros normalizados y sin calibración empírica, dado el carácter ilustrativo del estudio.

3. Resultados

3.1 Función riesgo–recompensa con variabilidad estratégica

La Figura 1 muestra la relación entre el valor inicial de la mano $$V(H_0)$$ y el beneficio neto esperado R de hacer mus, incorporando explícitamente un término de variabilidad simulada que representa la incertidumbre inherente al proceso de descarte.

A diferencia de modelos lineales simples, la relación observada presenta un comportamiento no lineal de tipo exponencial decreciente. Para valores bajos de $$V(H_0)$$, el beneficio esperado es claramente positivo, con una pendiente pronunciada que indica una alta sensibilidad de la decisión al valor inicial de la mano. Conforme $$V(H_0)$$ aumenta, el beneficio marginal del mus decrece rápidamente y se vuelve negativo para valores intermedios.

La banda de variabilidad muestra además que la incertidumbre asociada al mus aumenta con el valor inicial de la mano, lo que sugiere que, paradójicamente, hacer mus con manos fuertes no solo es menos rentable en promedio, sino también más arriesgado en términos de dispersión de resultados.

Este comportamiento refuerza la interpretación del mus como una decisión óptima principalmente en contextos de desventaja clara.

Figura 1. Función riesgo–recompensa del mus en función del valor inicial de la mano, incluyendo variabilidad simulada.

3.2 Probabilidad de mejora condicionada a la calidad inicial de la mano

La Figura 2 presenta la probabilidad de mejora $$P_{imp}$$ en función del número de cartas descartadas k, diferenciando tres categorías de manos iniciales: débiles, medias y fuertes.

Los resultados muestran patrones claramente diferenciados:

• Manos iniciales débiles

  Presentan probabilidades de mejora elevadas incluso para valores bajos de k, alcanzando valores cercanos a la saturación al descartar tres o más cartas. Esto indica que el mus actúa como un mecanismo eficaz de recuperación estratégica.

• Manos iniciales medias

  Exhiben un crecimiento aproximadamente lineal de $$P_{imp}$$, con incrementos significativos al aumentar el número de descartes, pero sin alcanzar los niveles observados en manos débiles.

• Manos iniciales fuertes

  Muestran probabilidades de mejora sistemáticamente bajas, incluso para valores altos de k. Este resultado sugiere que, en estos casos, el espacio de mejora es limitado y que el mus introduce más ruido que beneficio.

La separación clara entre curvas refuerza la necesidad de condicionar la decisión de mus no solo al número de descartes, sino también a la calidad inicial de la mano.

Figura 2. Probabilidad de mejora en función del número de descartes para distintos niveles de calidad inicial de la mano.

3.3 Interacción entre riesgo, recompensa y estrategia de descarte

El análisis conjunto de ambas figuras revela que la decisión óptima de hacer mus emerge de la interacción entre tres factores clave:

1. El valor inicial agregado de la mano $$V(H_0)$$.

2. El número de cartas descartadas k.

3. La variabilidad asociada al proceso de mejora.

El modelo sugiere la existencia de un régimen óptimo de mus, caracterizado por manos de bajo valor inicial y estrategias de descarte moderadas, en el que el beneficio esperado es positivo y la incertidumbre se mantiene acotada. Fuera de este régimen, el mus tiende a ser una decisión dominada.

3.4 Implicaciones estratégicas

Aunque los resultados se basan en simulaciones ficticias, las tendencias observadas son coherentes con el conocimiento estratégico informal del juego del mus. En particular, el modelo formaliza matemáticamente intuiciones ampliamente compartidas, como la conveniencia de “buscar” solo cuando la mano inicial es claramente desfavorable y la penalización del mus innecesario en manos fuertes.

4. Discusión

Los resultados obtenidos ponen de manifiesto que la decisión de hacer mus puede interpretarse formalmente como un problema de optimización bajo incertidumbre, en el que intervienen simultáneamente factores de recompensa esperada, riesgo y variabilidad estratégica. El modelo propuesto permite articular matemáticamente una intuición ampliamente compartida por jugadores experimentados: el mus es una herramienta eficaz para corregir situaciones desfavorables, pero resulta subóptima cuando se aplica de forma indiscriminada.

Un aspecto especialmente relevante es la incorporación explícita de la variabilidad asociada al mus. Mientras que modelos más simples se limitan a analizar el valor esperado, los resultados muestran que la dispersión de los posibles resultados aumenta con el valor inicial de la mano. Este efecto sugiere que el mus no solo reduce el beneficio esperado en manos fuertes, sino que incrementa la incertidumbre del desenlace, reforzando su carácter de decisión de alto riesgo en contextos inicialmente favorables.

Asimismo, el análisis diferenciado por calidad inicial de la mano evidencia que la probabilidad de mejora no es una función homogénea del número de descartes, sino que depende de manera crítica del estado inicial del sistema. Esta dependencia justifica la necesidad de criterios de decisión adaptativos, frente a estrategias fijas o heurísticas simplistas.

Finalmente, aunque el modelo asume racionalidad y simetría entre jugadores, estos supuestos podrían relajarse en trabajos futuros para incorporar elementos de comunicación implícita entre compañeros, asimetrías de información o comportamientos no racionales, aspectos todos ellos presentes en el juego real.

5. Conclusiones

En este trabajo se ha presentado un modelo matemático simplificado para analizar la decisión de hacer mus desde una perspectiva de riesgo–recompensa. A través de una función que integra el valor agregado de la mano, la probabilidad de mejora, la ganancia esperada condicionada y un coste estratégico, se ha definido un criterio formal que permite determinar cuándo resulta óptimo aceptar nuevas cartas.

Los resultados obtenidos a partir de simulaciones ficticias muestran que el mus es una estrategia claramente favorable en manos de bajo valor inicial, mientras que se vuelve progresivamente desaconsejable a medida que aumenta la calidad de la mano. Asimismo, se ha puesto de relieve la importancia de considerar no solo el beneficio esperado, sino también la variabilidad asociada a la decisión.

Aunque el estudio no pretende ofrecer una descripción empírica del juego real, sí demuestra que herramientas matemáticas relativamente simples pueden aplicarse con éxito al análisis de decisiones estratégicas en juegos tradicionales. Este enfoque tiene valor tanto desde un punto de vista didáctico como metodológico, y podría extenderse a otros juegos de cartas o situaciones de toma de decisiones bajo incertidumbre.

Referencias

1. Osborne, M. J. (2004). An Introduction to Game Theory. Oxford University Press.

2. Ross, S. M. (2014). Introduction to Probability Models. Academic Press.

3. von Neumann, J., & Morgenstern, O. (1944). Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press.

4. Fudenberg, D., & Tirole, J. (1991). Game Theory. MIT Press.

5. Serrano, J. (1998). El mus: estrategia y probabilidad. Editorial ficticia.